米勒指數(Miller indices)淺介《二》- 晶向及六方晶系

此記事為-米勒指數(Miller indices)淺介《二》晶向及六方晶系
因我不望篇幅過長，故我將此小文章分開成兩小部。還有接續的上一篇記事 《一》晶面及立方晶系。

小序：米勒指數(Miller indices) —— 一種適用於晶體上用以示表示位置（晶面及晶向）的一項「標記」。米勒指數更多應用於如材料科學(materials science)中材質的晶體結構上，故礦物晶體亦可同樣應用在其中。米勒指數可在標記晶面及晶向時，分別稱為「晶面指數」及「晶向指數」。看到數學上的元素，有人可能會立刻退後半步...但事實上並不複雜，我自己亦算是一位「看到數字便頭痛」的人，可在我看來其中更多的是幾何學上的元素...大概只需要一些空間想象力。

自問才疏學淺，只因對礦物的興趣才知曉米勒指數。故只在此粗淺的略為介紹米勒指數的原理。主要會配以簡單粗略的手繪圖來說明米勒指數（以軟件繪圖會相當麻煩耗時，故我選擇一邊隨寫此篇、一邊隨手繪畫更方便）

同時包有立方晶系、六方晶系及礦物晶體上的例子

• 以晶向指數找出晶向

晶向比晶面略複雜

上篇提到，晶向以方活號 [ ] 作記認，晶向是指晶面的朝向、趨勢。上圖是一個例子[112]。

[112]

要以已得知的晶向指數[112]找到其晶向，我們需把數值全部乘以1/2（再次利用倒數的關係）。然後由xyz軸中的初始值、位置0的角端作為起點（圖中的綠點），順米勒指數中xyz數值的次序，將箭咀向着指定方向「走」。例子中，x為1，乘以1/2即為1/2 。故如上圖綠線顯示，先向x軸走1/2的長度距離。

然後走下一步，因y=z同為1/2，在前一個停下的點起步，向y軸方向再走1/2的長度距離。

到最後的z軸，z為2，乘以1/2即為1。故於上一個停留的點，向z軸方向走1的長度距離。
到此步驟，晶向還未出現。你可就起點的意義來猜測下一步是怎樣，其晶向如何。

答案就是由起點位置畫一條直線往最後停留下來的終點，箭頭指向終點。這便是[112]的晶向。下面再舉一個例子。

[1 -2  2]

這是含有負數的晶向米勒指數。負數原理相同，可嘗試依上面提到的方法自行找出[1 -2  2]的晶向。

經過三次分別朝xyz的轉向後

再加上晶向箭咀線。但與晶面一樣，我們需要將箭咀方位移回原立方體內。

得到答案[1 -2  2] 的晶向

• 當只有晶向時如何找出其晶向指數（一）沿路徑法

沿路徑法
以箭咀找出其指數較前者簡單

當只有此藍色的晶向時，如何找到其晶向指數？這裹有兩個方法，第一個方法就是前者的反向推算，經過xyz三個軸的「行走」後，構想出其正確路徑後，依次取三個路徑停留點的數值。

同上

見上圖中，綠線的走向路徑。第一步x軸為0，無需移動；第二步y軸為1，向y軸方向移動1的長度距離；第三步y軸為-1/2，向z軸的反方向移動1/2的長度距離。後連起箭咀，再將箭咀移回原晶胞方位內，與已知的晶向相同，便可確認為正確的晶向。最後再將得出的數值(0 1 -1/2) x0 y1 z-1/2 乘以1/2 ，便得出 [0  2 -1] 的晶向指數。

• 當只有晶向時如何找出其晶向指數（二）頭減尾法

頭減尾法

只有晶向時，找出晶向指數的第二個方法是頭減尾法。此方法需先找出兩個點，分別是箭咀尾部及頭部的坐標數值。如上圖例子中，尾點的坐標標為001；頭部的坐標為0  1  1/2。找到兩點的數值後，將頭減去尾的數值（見上圖）。得出的數值為0 1 -1/2 ，最後再利用倒數關係將數值乘起，便可得出晶向指數的最終答案[0  2 -1]。

立方晶系中最後的例子

晶向是代表晶面的「朝向」。如上圖例子中，晶向指數 [1 -2  2] 的晶向為晶面指數 (2 -2  1) 的晶面。可見兩者之間的關係。

• 六方晶系

六方晶系，有着四條晶軸

只要學會了立方晶系，幾本上就等於學會了六方晶系中的原理，故我把六方晶系放在後。

只要認識立方晶系，六方晶系便不難學會

如上圖所示，其實可將六方晶系當作為z軸較長的立方晶系（即四方晶系）。將一角分割出來後，如圖中右方所見，其實只是把四方晶系在3條已有的晶軸下，再添加一條與xy軸同一個平面、在xy兩軸中間的a3軸。同時，我們會將x及y軸改稱為a1及a2軸，a3軸便是第三個方向的添加晶軸。

因此，六方晶系的米勒指數有四個數值，也稱為米勒布拉維斯指數(Miller Bravais indices)。(由於z軸的增長，在下我會以四方晶系代替立方晶系。四方晶系除了其中一個軸較長外，與立方晶系基本上是一模一樣的）

• 六方晶系-如何以晶面指數找出晶面

可先以四方晶系的三個數值作起

即使只有四方晶系的三個數值，同樣也可找出其晶面指數。方法亦有二，但第一個方法只適用於較簡單、易於觀察的晶面上。

• 如何以晶面指數找出晶面（一）簡易適用的觀察法

正如上方提到，我們會加插一個a3軸的數值在其中。先如立方晶系中尋找晶面的方法般找出立方晶系的晶面。

見依立方晶系的方法找到的綠色晶面（z軸的加長只需按比例調整其長度，如上圖例子中的1/2，同樣取於z軸的中間點，不論其長度增加多少）可以發現，a3軸並未有觸碰到此晶面。

因此，如早前已學會的，0代表無限，（藍曲線）未有觸及的a3軸的數值便為0。當加插在四方晶系的三位數值(1 -1  2)上時，便產生出新的晶面指數(1 -1  0 2) （見上圖）。你應該觀察到為何此簡單觀察法只適用於簡單的情況下，原因是a3的接觸點由於受a1及a2的影響，通常都是較「差」的數值，很少會有0、或剛好1/2此般易於觀察到的情怳。因此我們需要另一種實際常用的尋找方法。

• 如何以晶面指數找出晶面（二）uvtw公式法

uvtw是六方晶系中必需的公式

是的，到了這裹，終於出現一般人最討厭的數學公式了。幸好此公式並不複習且易記，故相信大家還是可以應付的。uvtw分別的順序代表了a1 a2 a3 z 軸的四個數值。

使用同一模型例子，當只有(1 -1  2)的三位數值時，我們需要計算a3 即t的數值。一條公式，t= -(u+v) 便必需使用了。見上圖中的計算，將a1及a2的數值，1及-1 分別代入為 u 及 v 。得出的算式為 a3 = -[1+(-1)] = 0 。再將其插入晶面指數中，便得出 ( 1 -1  0  2) 的答案。

• 如何在已知晶向的情況下找出其晶向指數

這是需要用到最多的公式之處

與四方晶系的方法相同，先將其假想為四方晶系，找出三位數值的晶向指數（以上例子我會以頭減尾法來做）

得出[-2 -2  1]

在分割出的假想四方晶系中，箭頭處於z軸的點為(0 0 1/2)、箭尾為(110)，減後得出(-1 -1  1/2)，再將其轉為晶向指數得出[-2 -2  1]。得到三位數值的晶向指數後，便需要uvtw的數條公式來計算最後答案。

需使用到的公式如上

現在只有uvw三位數值，故我們需要如找出晶面所用到的其中一條uvtw公式般，將數值代入公式中的u及v。見上圖的算式中，順序必需先計算u及v，因t的計算需要用到u及v。最後得出(-2/3 -2/3  4/3  1) 四位數值。由於答案必需是整數，我們需再利用倒數關係，將上述每個數值乘以3。最終，便得出其晶向指數[-2 -2  4  3]。

至此，米勒指數的淺介基本上已完結。各位應很快便可明解其中的步驟原理而學會。
但在下方有最與我等有關的---應用於礦物晶體上的例子。

• 應用於礦物晶體上

網上隨便找到的論文圖

（可無視左方的六方晶系模形）見上圖右方的石英晶體模形（此為右旋水晶(right handed quartz) )，我抽出兩組晶面指數 (1  0 -1  1)、 (5  1 -6  1)作例子。

例子

見右方以六方晶系（長度未有按比例繪畫）顯示該晶面，可清楚見(1 0 -1 1)、(5 1 -6 1)的平面，想象將晶面移到左方的水晶晶模上，其實就是同一個晶面。(5 1 -6 1)的晶面是稍斜偏向右下方的。

另一例子(6 1 -5 1)
（此為左旋水晶(left handed quartz))
見右方所繪於四方晶系及六方晶系中的晶面，實際上都是同一個晶面位置。

米勒指數可準確標示出晶體的晶面或晶向，是在標示晶面時的良好標記方法。學會米勒指數後，便可通曉更多與礦晶相關的知識...希望此篇只花費了一日時間來粗略製成的小記事，可對各位的礦物知識有提升的幫助...

完